Mag IT iets meer zijn – de sinus

Share this post:

Een blog door Frank van der Wal, thewall@nl.ibm.com
Als een soort jaarlijks terugekerende fenomeen, wil ik de laatste “Mag IT iets meer zijn?” voor het zomer recces niet aan diepgaande IT zaken weiden, maar aan een hobby dingetje.
Vorige jaar probeerde ik uit te leggen waarom ik zo geintrigeerd ben geraakt door Fibonacci. Dit jaar wordt het wat saaier en misschien wat taaier: Fourier. En ja, het was een Fransman.

Ik ga het hebben over wisselende signalen: een sinus, het golfje: ~,  wat op tijdstip 0 begint bij 0, met een sierlijke boog omhoog gaat tot een maximum, dan dezelfde curve naar beneden volgt, door de nul heen gaat naar een minimum om vervolgens weer naar de nul lijn te stijgen. Als dit signaal dat in precies één seconde doet is de frequentie 1 Hertz (1 Hz).

Voor redenen die straks duidelijk worden nemen we nog een sinus maar dan van 2 Hz. Waar de eerste sinus de bovenste helft heeft afgerond, heeft de 2Hz variant al een hele periode achter de kiezen, en doet een tweede ronde in de tijd dat de eerste de onderste helft afrond.
Als je deze twee signalen bij elkaar zou optellen krijg je iets wat niet meer op een mooie sinus lijkt, maar nog steeds met 1 Hz trilt, immers het signaal komt pas bij de 1 seconde weer in het zelfde stramien terecht. De 1 Hz sinus heet de grondfrequentie. De 2 Hz variant heet een boventoon of harmonische.

Als je je tijdens een regenachtige vakantiedag verveelt kan je ook een 3Hz variant erbij tekenen en bij de vorige twee optellen. Het patroontje wordt steeds grilliger, maar het blijft een signaal van 1 Hz. Na het intekenen van 20 Hz lijkt het meer op een blokvorm dan op een mooie ronde sinus, hetgeen alleen maar versterkt wordt als er hogere frequenties aan toegevoegd gaan worden.
Het wordt een signaal dat bij tijdstip 0 recht omhoog speert naar het maximum, hoog blijft tot bij 0,5 seconde, dan naar beneden dondert en daar blijft tot 1 seconde. Een soort kanteel van een kasteel. (Om het een beetje simpel te houden heb ik het hier alleen maar over sinussen gehad, maar je kan er ook cosinussen aan toevoegen)

Nu de andere kant:
De stemtoonhoogte bij muziekinstrumenten is 440 Hz. Het is, geloof ik, de “a” op een piano. Sla deze aan en je krijgt een toon van 440 Hz. Pingel op een gitaar een “a” en ook die zal op 440 HZ trillen, maar is duidelijk hoorbaar een andere toon dan die van de piano. Zelfs als je naar mp3 luistert. Zo heeft elk muziekinstrument een 440 Hz maar alle klinken anders. How come?

Het aantal harmonische is anders en die bepalen de klankkleur van een instrument. Bij een piano zijn er andere harmonische dan bij een trompet dan bij een cello etc.

Fourier had een vermoeden en heeft het later bewezen dat elke trilling, hoe grillig dan ook, opgebouwd kan worden uit een aantal sinussen (en cosinussen) die allemaal meervouden zijn van de grondfrequentie. Om het ingewikkelder te zeggen het transformeert een signaal dat over de tijd heen varieert, naar een die louter uit frequenties (van grond- en harmonische) bestaat.
Fourier heeft het mogelijk gemaakt om die grillige signalen terug te brengen naar goed te berekenen sinussen en cosinussen. Nog steeds wordt Fourier analyse gebruikt in digitale-analoge signaal verwerking en alle natuurlijke signalen die regelmatig zijn.

In 1965 was het oa James Cooley van IBM (samen met John Turkey van Princeton) die een algoritme uitvonden om boven beschreven fenomeen uit te voeren (zowel heen als terug) en wat vandaag de dag nog steeds bekend staat als de Fast Fourier Tranformatie (FFT).

Het is maar dat je het weet.
Een prettige vakantie gewenst en ik ben er weer ergens eind augustus!